MÔ HÌNH TOÁN CHO 2019-nCoV
ôn lại kiến thức sinh viên năm thứ 4
===========================

BS Trần Văn Phúc

Để đánh giá mô hình dịch bệnh, các nhà nghiên cứu chọn cách chia quần thể thành các ngăn (compartment). Mỗi ngăn có một trạng thái đặc trưng liên quan đến bệnh mà có một số cá nhân có thể rơi vào đó.

Đại dịch 2019-nCoV ở Vũ Hán, mỗi người dân có thể rơi vào 1 trong 4 ngăn, cụ thể như sau:

– S = dễ bị nhiễm
– E = bị phơi nhiễm
– I = nhiễm có triệu chứng
– A = nhiễm không triệu chứng
– R = loại bỏ (khỏi bệnh + tử vong)

Gọi N là tổng dân số Vũ Hán. Vậy ta có:

N = S + E + I + A + R

Có nhiều cách để lập mô hình toán học dự báo dịch 2019-nCoV ở thành phố Vũ Hán, tùy theo các biến vi phân tác động vào dịch, mô hình có thể đơn giản ở giai đoạn đầu và thay đổi phức tạp ở những giai đoạn về sau.
…

MÔ HÌNH TOÁN HỌC ĐƠN GIẢN NHẤT
————————————————–

Gọi tốc độ truyền bệnh bình quân trên đầu người là β.
Gọi tỉ lệ phục hồi bệnh là γ (khi đó khoảng lây nhiễm trung bình sẽ là 1/γ).

Bỏ qua các yếu tố như: vật chủ ban đầu (giả thiết được cho là dơi), vật chủ trung gian (được cho là thịt động vật hoang dã), ổ dịch ở chợ thịt đông lạnh. Chỉ tập trung vào yếu tố người truyền bệnh cho người.

Ở trạng thái ban đầu, tất cả người dân Vũ Hán được coi là dễ bị nhiễm, nghĩa là S(0) = N. Sau đó một người dân bị nhiễm bệnh rồi truyền virus cho những người khác với tỉ lệ βN trong khoảng thời gian 1/γ. Như vậy, người bị nhiễm bệnh đầu tiên sẽ có hệ số lây nhiễm Ro = βN/γ.

Dạng đơn giản nhất của mô hình toán học SIAR theo thống kê gồm 2 phương trình sau:

dS/dt = – βS(I + A)
dI/dt + dA/dt = βS(I + A) – γ(I + A)

Trong đó t là thời gian diễn ra dịch bệnh ở thời điểm mô phỏng.

Để giải mô hình toán học SIAR này, việc đầu tiên là ta tích hợp 2 phương trình trên, nên ta có:

d(I + A)/dS = dI/dS + dA/dS
= (dI/dt):(dS/dt) + (dA/dt):(dS/dt)
= (dI/dt + dA/dt):(dS/dt)
= -1 + γ/βS
= -1 + S(0)/RoS
= -1 + 1/RoS

Vậy phương trình sau khi đồng nhất là:

d(I + A)/dS = -1 + 1/RoS

Lấy nguyên hàm tích phân cả hai vế ta được:

ʃd(I + A)/dS = ʃ(-1 + 1/RoS)dS

như vậy:
I + A = I(0) + A(0) – S(0) + [lnS – lnS(0)]:Ro

Đây là lời giải chính tắc cho số bệnh nhân bị nhiễm nCoV, nhưng đáng tiếc nó lại là hàm của biến S, chứ không phải là hàm của thời gian t như mong đợi. Nghĩa là có thể ước lượng được số bệnh nhân mắc ở một thời điểm bất kì nào đó, nhưng không thể đánh giá được sự biến thiên theo thời gian của vụ dịch. Đến nay, vẫn chưa có lời giải chính xác nào để ra hàm theo biến thời gian t.

Có một số phương án xấp xỉ để xây dựng hàm theo biến t.

Nếu sử dụng phương pháp xấp xỉ Euler, với giả thiết thời gian Δt đủ nhỏ thì dS/dt xấp xỉ bằng ΔS/Δt, trong đó ΔS = S(t + Δt) – S(t).

Như vậy, xấp xỉ bệnh nhân bị nhiễm ở thời điểm (t + Δt) sẽ là:

S(t + Δt) = S(t) – βS(t)[I(t) + A(t)]Δt

Tương tự, xấp xỉ của bệnh nhân nhiễm có triệu chứng I và bệnh nhân nhiễm không triệu chứng A tại thời điêm (t + Δt) sẽ là:

I(t + Δt) = I(t) + βS(t)I(t)Δt – γI(t)Δt
A(t + Δt) = A(t) + βS(t)A(t)Δt – γA(t)Δt

Đồng nhất cả ba phương trình này ta được mô hình SIAR với một hệ các hàm số theo biến thời gian t.
…

MÔ HÌNH TOÁN HỌC MỞ RỘNG ĐA BIẾN
—————————————————–

Để mở rộng hơn, ta có thể sử dụng mô hình nhiều vi phân hơn, khi đó độ chính xác sẽ cao hơn cho công tác dự báo dịch. Cụ thể:

W: là số ổ dịch trong chợ thịt đông lạnh ở Vũ Hán
n: là tỉ lệ sinh tự nhiên của thành phố Vũ Hán.
m: là tỉ lệ chết tự nhiên của thành phố Vũ Hán.

Khi dịch bùng phát mạnh, thì tỉ lệ sinh tự nhiên sẽ rất thấp, lúc đó xem xét tỉ lệ tử vong có thể cao lên; để tránh nhiễu có thể bổ sung bằng tỉ lệ người đi vào và đi ra khỏi Vũ Hán theo những thuật toán hợp lí. Ví dụ, n có thể coi là tỉ lệ người đến Vũ Hán và m là tỉ lệ người rời khỏi Vũ Hán, vì Tết Nguyên Đán có biến động mạnh về di chuyển dân số nên rất quan trọng.

β = tốc độ lây truyền bình quân trên đầu người
1/ω = thời gian ủ bệnh tiềm ẩn
1/ω’ = thời gian nhiễm bệnh tiềm tàng
1/γ = thời gian lây nhiễm của I (nhiễm có triệu chứng)
1/γ’ = thời gian lây nhiễm của A (nhiễm không triệu chứng)
δ = tỉ lệ nhiễm bệnh không có triệu chứng

Khi đó số người trong ngăn S sẽ bị nhiễm thông qua tiếp xúc với W và I với tốc độ lan truyền tương ứng là βw và β. Đồng thời giả định khả năng truyền bệnh của A gấp k lần I với 0 ≤ k ≤ 1.

Advertisement

Giả sử người nhiễm có triệu chứng (I) và không có triệu chứng (A) có thể lan truyền virus sang W với tỉ lệ tương ứng là µ và µWE. Tiếp theo, virus trong ngăn W sẽ rời khỏi ngăn này với tốc độ ƸW, khi đó thời gian tồn tại của virus sẽ là 1/Ƹ.

Trong mô hình tổng quát, ta xét hàm f(t0,ti) trong t0 = thời gian bắt đầu mô phỏng dịch, ti = thời gian xem xét dịch ở tại thời điểm i.

Mô hình toán học cũng được xây dựng từ phương trình cơ bản giống như ở phần đầu, sau khi đồng nhất các phương trình, ta có hệ phương trình vi phân đầy đủ hơn như sau:

𝑑𝑆/𝑑𝑡 = nN − 𝑚𝑆 – 𝛽𝑆(I + kA) – 𝛽w𝑆𝑊
𝑑𝐸/𝑑𝑡 = 𝛽𝑆(𝐼 + k𝐴) + 𝛽w𝑆𝑊 − (1 – 𝛿)ωE – 𝛿ω’𝐸 – 𝑚𝐸
dI/dt = (1 – δ)ωE – (γ + m)I
dA/dt = ƸωE – (γ’ + m)A
dR/dt = γI + γ’A – mR
dW/dt = µI + µ’A – ƸW

Điều quan tâm đặc biệt trong mô hình toán học dịch bệnh là hệ số lây nhiễm cơ bản R0. Nếu R0 > 1 nghĩa là dịch đang còn. Khi R0 < 1 là dịch được coi đã hết. Từ hệ phương trình có thể xây dựng trạng thái cân bằng R0.

(nN/m,0,0,0,0,0)

Lập ma trận của F và 1/V để xây dựng công thức tính R0.

R0 = β [nA/m] (1 – δ)ω/[(ω + m)(γ + m)] +
β [knA/m] δω/[(ω + m)(γ’ + m)] +
βw [nA/m] (1 – δ)µω/[(ω + m)(γ + m)Ƹ] +
βw [nA/m] δµ’ω/[(ω + m)(γ’ + m)Ƹ] …

KẾT LUẬN: Đánh giá đại dịch 2019-nCoV nếu chỉ nhìn vào số mắc mới phát hiện mỗi ngày và số tử vong mỗi ngày, sẽ chẳng nói được điều gì nhiều, ngoài sự hoảng loạn mà thôi. Hai mô hình toán học đơn giản trên đây cũng vẫn chưa thể hiện được nhiều, mà phải xây dựng rất nhiều hàm khác nhau, khảo sát rất kĩ lưỡng, đặc biệt là những hàm có yếu tố tác động như nhiệt độ, độ ẩm, ánh sáng là những tác động không hề nhỏ. Đó là công việc rất nặng nhọc của các nhà dịch tễ học chuyên sâu. Bài viết chỉ đơn giản là ôn lại kiến thức dịch tễ học thời sinh viên Y4.