[COVID-19]HỌC TOÁN BẰNG COVID-19

Covid có hai điều đơn giản nhưng phải sử dụng kiến thức toán mới hiểu được: một là hệ số lây nhiễm cơ bản R0, hai là miễn dịch cộng đồng.
⍻ HỆ SỐ LÂY NHIỄM CƠ BẢN (R0)
Với một bệnh truyền nhiễm, chẳng hạn như Covid, vấn đề quan tâm đầu tiên là hệ số lây nhiễm cơ bản R0. Theo đó R0 được hiểu đơn giản nhất, là một người sau khi bị mắc bệnh, sẽ lây nhiễm trung bình cho bao nhiêu người.
Ví dụ COVID-19 giả sử hệ số lây nhiễm R0 = 2.
Thế hệ 1: có 1 ca bệnh (2^0 ca)
Thế hệ 2: thêm 2 ca mới (2^1 ca)
Thế hệ 3: thêm 4 ca mới (2^2 ca)
Thế hệ 4: thêm 8 ca mới (2^3 ca)
…
Thế hệ n: thêm 2 luỹ thừa n-1 ca mới (2^n-1).
Đây là một chuỗi số hình học, vì có tỉ lệ chung giữa mỗi số hạng. Trong chuỗi số này, nếu lấy số đứng trước nhân với 2, thì sẽ ra số đứng sau. Nói cách khác, an = a1.r^(n-1)
Muốn tính số ca nhiễm, chỉ cần cộng tất cả những số hạng ở các thế hệ, khi đó sẽ được tổng S bệnh nhân.
Sn = 1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 +…+ 2^(n-1)
Mà công thức tính tổng của dãy số hình học là:
Sn = a1(r^n – 1) / (r – 1)
Thay a1 = 1 và r = 2 vào ta có tổng.
Sn = 2^n – 1
Như vậy, có 2^n ca nhiễm mới sau n đợt nhiễm trùng. Giả sử thời gian để một người lây bệnh là 1 tuần, với tốc độ này, nếu không có biện pháp ngăn chặn dịch thì toàn bộ dân số thế giới (khoảng 7,8 tỉ người) sẽ bị nhiễm Covid trong vòng 33 tuần.
Đến đây chúng ta nhớ lại hàm số: y = a^x với cơ số a > 1 thì độ thị là đường cong đồng biến, a càng lớn thì độ dốc đi lên càng tăng rất nhanh. Trong trường hợp cụ thể này, y = 2^x chỉ cần 33 tuần thì cả thế giới sẽ bị nhiễm bệnh.
Bây giờ, tôi giả thiết hệ số lây nhiễm cơ bản nhỏ hơn 1, ví dụ R0 = 0,5 chẳng hạn, sẽ thấy một bức tranh rất khác xuất hiện. Trong tình huống này, một người bị bệnh sau chu kì nhiễm sẽ không thể lây bệnh cho một người nữa theo cách tính trung bình. Có nghĩa là 10 bệnh nhân thì lây cho 5 người, 100 bệnh nhân lây cho 50 người khác.
Cũng theo cách trên, nếu chọn một người nhiễm bệnh ban đầu, với hệ số lây nhiễm R0 = 0,5 = 1/2 thì ta sẽ có các thế hệ.
Thế hệ 1: có 1 ca bệnh (1/2^0 ca)
Thế hệ 2: thêm 0,5 ca mới (1/2^1 ca)
Thế hệ 3: thêm 0,25 ca mới (1/2^2 ca)
Thế hệ 4: thêm 0,125 ca mới (1/2^3 ca)
…
Thế hệ n: thêm 0,5 luỹ thừa n-1 ca mới (1/2^n-1).
Đồ thị bây giờ trở thành y = 0,5^x là làm nghịch biến, có độ dốc suy giảm cực nhanh, nghĩa là dịch bệnh đi vào ngõ cụt, sẽ biến mất.
Sn = 1 + 1/2^1 + 1/2^2 + 1/2^3 +…+ 1/2^(n-1) = 2
Trong bài viết “Phương trình cuộc sống” tôi đã đưa ra cách chứng minh bằng vẽ hình chữ nhật, tổng Sn = 2. Tuy nhiên, chúng ta có thể giải rất đơn giản bằng công thức tính tổng Sn, sau đó tìm giới hạn khi n chạy đến vô cực, thì Sn = 2 là kết quả cuối cùng.
Sn = 2 là con số hữu hạn.
Nghĩa là khi hệ số lây nhiễm cơ bản R0 = 0,5 thì mỗi người mắc bệnh hình thành chuỗi lây nhiễm tính trung bình, tối đa cũng chỉ tất cả 2 bệnh nhân. Nếu 1000 bệnh nhân ban đầu, thì cũng chỉ đến tất cả 2000 bệnh nhân, khi đó dịch bệnh sẽ được coi là hết ở một thời điểm nào đó.
R0 = 1 thì sao?
Trong trường hợp này, căn bệnh Covid sẽ trở thành bệnh đặc hữu (endemic), tức là bệnh luôn tồn tại trong quần thể, nhưng không phải là dịch bệnh.
👉 KẾT LUẬN 1
✓ R0 > 1 dịch bệnh đang bùng phát
✓ R0 = 1 trở thành bệnh đặc hữu
✓ R0 < 1 dịch bệnh đang biến mất
⍻ HỆ SỐ LÂY NHIỄM THỰC (R)
Có những bệnh hệ số R0 > 1, như cúm mùa, đặc biệt là bệnh sởi hệ số R0 từ 12 đến 18, vậy tại sao cả thế giới không bị mắc? Câu trả lời là không phải ai cũng dễ nhiễm bệnh. Có những người do cơ địa khó mắc, người đã có kháng thể, người được tiêm vaccine, người thực hiện các biện pháp phòng vệ cá nhân hoặc cách li xã hội; nên thế giới đã không bị nhấn chìm toàn bộ bởi dịch bệnh.
Đó là một thực tế.
Nghĩa là trong các tình huống cụ thể, hệ số lây nhiễm thực R, nghĩa là một người sau khi bị mắc bệnh sẽ lây nhiễm cho bao nhiêu người khác, với điều kiện là quần thể không phải ai cũng dễ mắc bệnh như nhau.
Rõ ràng, R và R0 có mối liên quan với nhau, nếu gọi s là tỉ lệ dân số dễ mắc bệnh ta sẽ có biểu thức toán học.
R = sR0
Ví dụ, nếu chỉ một nửa dân số dễ mắc bệnh, tức là s = 0,5 thì chúng ta sẽ có R = 0,5R0. Vậy nếu R0 nhỏ hơn hoặc bằng 2 thì R sẽ nhỏ hơn hoặc bằng 1 và dịch bệnh sẽ trở thành bệnh đặc hữu dần được khống chế. Bởi vậy, công tác phòng dịch là các biện pháp can thiệp để s càng nhỏ thì R càng thấp, như giãn cách xã hội, lockdown, tiêm chủng, thực hiện 5k; nhằm mục đích giảm R xuống dưới 1.
⍻ MIỄN DỊCH CỘNG ĐỒNG
Miễn dịch cộng đồng là khi cộng đồng có nhiều người đạt miễn dịch, căn bệnh truyền nhiễm không thể phát triển được thành dịch, vì thế mà những người chưa có miễn dịch cũng được bảo vệ.
Khi đạt được miễn dịch cộng đồng, thì quần thế (population) hay còn gọi là bầy đàn (herd) có miễn dịch, họ sẽ bảo vệ những người dễ bị tổn thương, nên được gọi là miễn dịch cộng đồng, hoặc một tên gọi khác là miễn dịch bầy đàn.
Vậy một quần thể cần bao nhiêu người để có miễn dịch cộng đồng?
Hãy tưởng tượng, một căn bệnh truyền nhiễm có R0 > 1, khi đó dịch đang tồn tại và cộng đồng đó bị đe doạ. Nhưng khi R < 1 thì căn bệnh đó sẽ biến mất. Vì vậy, để có miễn dịch cộng đồng thì bằng cách nào đó phải đưa R < 1. Mà R = sR0 trong đó s là tỉ lệ dân số nhạy cảm, nên chúng ta cần:
sR0 < 1
Từ đó suy ra:
s < 1/R0
Nói cách khác, chúng ta cần đưa tỉ lệ dân số dễ mắc bệnh s xuống dưới 1/R0. Bao nhiêu người cần được miễn dịch để đạt được điều này? Số người đạt miễn dịch là 1 – s. Từ đó ta có:
s < 1/R0
Nghĩa là:
1 – s > 1 – 1/R0
Vì vậy, để đạt tới miễn dịch cộng đồng, chúng ta cần đảm bảo rằng có ít nhất 1 – 1/R0 dân số đã có miễn dịch.
Ví dụ, nếu R0 = 2 và chúng ta muốn có miễn dịch cộng đồng thì cần ít nhất 1 – 1/2 = 0,5 dân số miễn dịch, tức là 50% trở lên.
Thực tế vaccine không thể đạt hiệu quả 100%.
Giả sử, hệ số R0 = 4 và một vaccine hiệu quả phòng bệnh 100%, thì dân số cần tiêm chủng ít nhất sẽ là 1 – 1/4 = 0,75 tức là tiêm cho 75% dân số sẽ đạt miễn dịch cộng đồng.
Nhưng hiệu quả vaccine chỉ đạt tỉ lệ ε.
Khi đó để đạt miễn dịch cộng đồng cần tiêm:
Pc = (1 – 1/R0) : ε
Ví dụ R0 = 4, hiệu quả vaccine đạt 80% thì số dân cần tiêm chủng là Pc = (1 – 1/4):0,8 = 0,94 tức là tiêm trên 94% mới đạt miễn dịch cộng đồng.
Biến thể Delta có R0 quá cao trong khi ε quá thấp, đó là vấn đề lớn, các nhà khoa học cho rằng vaccine không thể đạt được miễn dịch cộng đồng.
Còn vấn đề nữa, đó là thời gian bảo vệ của vaccine, giả sử thời gian bảo vệ trung bình của vaccine là 1/γ2 thì hàm số lập được sẽ phức tạp hơn nhiều, ví dụ hàm đa biến tôi xin dán vào cmt, hình ảnh minh hoạ được Roy M Anderson và cộng sự tính toán vẽ minh đăng trên tạp chí Lancet. Trong đó, hình A là tiêm chủng năm đầu tiên đạt trạng thái cân bằng, hình B là phải bổ sung thêm vaccine nhiều hơn một liều để đạt hiệu quả cao.
👉 KẾT LUẬN 2
✓ Miễn dịch cộng đồng khi 1 – 1/R0 có miễn dịch.
✓ Vaccine chỉ đạt hiệu quả ε < 1 nên cần tiêm bổ sung.

Advertisement