[COVID-19]PHƯƠNG TRÌNH CUỘC SỐNG (toán học giúp ích như thế nào với đại dịch COVID-19)

“Những điều đơn giản thì khó, nhưng điều khó thì lại đơn giản – The hard things are easy, but the easy things are hard”. Đây được gọi là “Nghịch lí Moravec”. Trong đại dịch COVID-19, tôi đã suy nghĩ rất nhiều về nghịch lí toán học kì quái này, và tôi nhận thấy những người làm công tác chống dịch, từ công việc dự báo cho đến thực hiện chính sách, nếu không quan tâm đến Nghịch lí Moravec sẽ bị trả giá rất đắt.

Tôi lấy ví dụ “Nghịch lí Vaccine”, để khống chế đại dịch thì điều khó khăn nhất là tìm ra vaccine, công việc còn lại quá đơn giản là tiêm chủng đạt miễn dịch cộng đồng.

Thực tế đã diễn ra ngược lại.

Trong vòng chưa đầy một năm, không chỉ với các loại vaccine bất hoạt hay vector, mà ngay cả vaccine sản xuất theo công nghệ mRNA không tưởng cũng nhanh chóng ra đời.

Với công nghệ mRNA, lần đầu tiên các nhà khoa học đã chinh phục được đỉnh cao là sử dụng vật chất di truyền hướng dẫn tế bào cơ thể người sản xuất protein kháng thể chống lại virus, công việc ấy chẳng khác gì đưa con người bay lên mặt trăng.

Nhưng đã nửa năm trôi qua kể từ khi vaccine có mặt trên thị trường, Mỹ, châu Âu, Nhật Bản đã tích trữ thừa vaccine, nhưng tất cả những quốc gia này đang phải loay hoay không biết làm thế nào để tiêm đủ số lượng người đạt tới miễn dịch cộng đồng. Hàng loạt những khó khăn đã cản trở quá trình tiêm chủng. Từ khó khăn sản xuất như thiếu chai lọ thủy tinh, ống tiêm hoặc thiết bị bảo quản lạnh, cho đến khi có thừa vaccine thì công chúng lại do dự, thậm chí đơn giản chỉ là đặt lịch tiêm chủng cũng biến thành cản trở.

Chống dịch COVID-19 cũng vậy, đó là bài toán quá khó, nhưng lại có lời giải là biện pháp lockdown rất đơn giản. Khi nào dịch sẽ hết? Đó là câu hỏi luôn được đặt ra, đặc biệt khi Sài Gòn dịch bùng phát trở lại, một số người quá tin lockdown sẽ giúp Tp.HCM nhanh chóng quét sạch F0, nên đưa ra những dự báo sớm hết dịch, từ đó triển khai triệt để chiến thuật lockdown.

Nhưng F0 ở Sài Gòn sẽ chẳng bao giờ hết!

Khi tôi viết bài khẳng định như vậy, rồi bầy tỏ quan điểm Sài Gòn cách li xã hội theo Chỉ thị 16+ sau ba tháng chưa khống chế được dịch, chứ đừng hi vọng ba tuần, từ đó tôi đề xuất chống dịch theo yếu tố nguy cơ ít nhất 3 màu “xanh – vàng – đỏ” và chấp nhận sống cùng virus, tức là sẽ có một số ca F0 tồn tại trong cộng đồng, lockdown chỉ khi vùng lưu hành dịch chuyển sang màu đỏ; nhưng một số người trái quan điểm đã miệt thị tôi bằng đủ thứ lời lẽ.

Tại sao lại không thể quét sạch được F0?

Chúng ta hãy tưởng tượng, không một ai có thể làm mượt tất cả các sợi tóc trên đầu của mình, bởi luôn có một vài cọng tóc ương bướng dựng đứng hơn hẳn so với đa số tóc còn lại. Đây chính là Định lí Hairy Ball nổi tiếng. Để hiểu sâu hơn định lí toán học này, hãy hình dung “hairy ball” là một quả cầu gai, hoặc như chính tóc ở trên đầu của mình vậy. Nếu chúng ta cố gắng chải tóc để ép chặt nó xuống, thì Định lí Hairy Ball nói cho chúng ta biết rằng sẽ không bao giờ thành công, có nghĩa là, mọi nỗ lực chải tóc chỉ làm phẳng được đa số, nhưng vẫn còn một thiểu số không tuân theo ý muốn.

Theo ngôn ngữ toán học, Định lí Hairy Ball phát biểu rằng, mọi ánh xạ liên tục f: S^(2n) -> R^(2n+1) sẽ luôn tồn tại một điểm x thuộc S^(2n) mà f(x)=0.

Định lí toán học Hairy Ball đã thực sự đi vào mọi ngóc ngách cuộc sống, trong đó có thế giới y học, mà đại dịch COVID-19 là ví dụ điển hình. Nhân loại đã cố gắng tiêu diệt virus nhưng không thể. Nên hôm nay, hầu hết các nhà khoa học đều phải tin rằng, virus chẳng bao giờ biến mất, nó sẽ trở thành bệnh đặc hữu bắt buộc con người phải sống chung với nó.

Tôi biết nhiều người không thích điều đó.

Nhưng rất tiếc, đây lại là sự thật khách quan, theo quy luật mà chúng ta không cưỡng lại được. Hôm qua, trong bữa ăn con trai có hỏi tôi một bài toán, chứng minh rằng 2 có thể viết được thành tổng của một dãy vô số chữ số điều hoà.

2 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +… + 1/2^n

Bài toán không khó để có lời giải, chỉ cần nhìn vào hình tôi vẽ, đó là hình chữ nhật lớn có chiều dài bằng 2 và chiều rộng bằng 1. Bên trong hình chữ nhật ấy, tôi liên tục thực hiện các phép chia đôi, như vậy đã có điều phải chứng minh.

Đảo lại vấn đề, nếu coi mỗi số hạng trong phép tính là một sự nỗ lực, từ nhỏ nhất chúng ta cứ thế tăng dần, thì cũng chẳng thể đạt được đến sự hoàn hảo 100%, bởi vì để có tổng bằng 2, thì sự nỗ lực n phải kéo dài vô tận.

Công tác chống dịch cũng y như vậy, mặc dù tổng thể là khống chế sự lây nhiễm của virus, nhưng mỗi bước làm nếu chúng ta chỉ giải quyết được một nửa vấn đề chẳng hạn, thì mãi mãi vẫn tồn tại một phần nào đó nguy cơ tiềm ẩn, nghĩa là vẫn luôn có F0 ở trong cộng đồng mà chúng ta không hề biết, đó là trường hợp người lành mang virus đến một lúc nào đó sẽ lại gây bệnh.

Nhưng phương pháp sẽ rất quan trọng.

Tôi lấy ví dụ khác với con trai, đó là tính tổng của một dãy số điều hoà, cần chú ý một chút về quy luật.

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +… + 1/n

Dãy số này không khó để nhận ra nó không cho kết qủa giới hạn trên, nhưng sự phát triển của nó thì vô cùng chậm, chậm đến nỗi tổng của 100 số hạng đầu tiên chưa bằng 6. Từ hai ví dụ này, bài học rút ra là chống dịch bằng Chỉ thị 16, hay bất kì biện pháp nào cũng vậy, đừng kì vọng đạt con số tuyệt đối loại hết virus ra khỏi cộng đồng, chúng ta chỉ chia nhỏ các bước để thực hiện sao cho phù hợp, cách chia nhỏ này sẽ chống dịch lâu hơn và cách chia nhỏ khác lại chống dịch chậm hơn, nhưng chọn cách nào tối ưu nhất thì đó mới cần đến các phương pháp khoa học.

TOÁN HỌC DỰ BÁO DỊCH THẾ NÀO?

Thế hệ chúng tôi, ở phổ thông không được học tích phân vi phân, lên đại học nổi tiếng là “toán trường y” bởi nội dung chỉ có xác suất thống kê, nhưng thầy giảng không hiểu và trò chỉ học thuộc lòng để thi.

Hầu hết sinh viên đều thuộc lòng đến từng chữ số.

Thập kỉ 90, các thầy của tôi là Gs Nguyễn Bửu Triều, Gs Đặng Hanh Đệ và Gs Đỗ Đức Vân đã mời giáo viên dạy riêng môn toán. Một lần phụ mổ cho Gs Vân, tôi hỏi thật, thầy đã trả lời thực ra có học cẩn thận nhưng vẫn chỉ biết lơ mơ một tí.

Tôi cũng nằm trong số những người không biết gì về toán như vậy.

Thật oái oăm, toán học trong phòng chống dịch bệnh lại quá quan trọng, nó giúp trừu tượng hóa và mô tả bản chất của các vấn đề thực tế bằng các công thức toán học, quy trình vận hành, đồ họa cấu trúc, v.v. Toán học mô phỏng cách thức chống dịch trong thế giới thực. Nó có thể giải thích nhiều hiện tượng, dự đoán sự phát triển và thay đổi mô hình dịch bệnh, đưa ra chiến lược tối ưu hóa kiểm soát dịch. Để xây dựng được mô hình toán học chống dịch, đòi hỏi chúng ta phải quan sát, suy luận và phân tích các vấn đề một cách chuyên sâu, nhưng cũng đòi hỏi chúng ta phải sử dụng các kinh nghiệm và kiến thức khoa học hiện có một cách linh hoạt và khéo léo.

Nguyên lí của mô hình toán học không quá phức tạp.

Tôi lấy ví dụ, trong một thành phố, giả sử xác suất để mỗi người bị lây nhiễm khi tiếp xúc với một bệnh nhân là P, giả sử tiếp theo mỗi bệnh nhân tiếp xúc trung bình N người mỗi ngày. Theo giả thiết này, không khó để nhận thấy rằng số người mắc bệnh sẽ tăng theo cấp số nhân. Nếu tích của N và P nhỏ hơn 1 (tức là NP <1), dịch bệnh đang giảm dần; và nếu NP > 1, bệnh đang bùng phát. Như vậy, để kiểm soát dịch bệnh thì nhiệm vụ thành phố đó phải làm là hạ thấp giá trị của N và P. Cụ thể, nếu triển khai giãn cách xã hội theo Chỉ thị 16, yêu cầu những người không có nhiệm vụ không ra khỏi nhà, hạn chế đi lại, cấm tụ tập, người cách li với người, nhà cách li với nhà, mục đích để làm giảm giá trị N. Các biện pháp như khẩn trương như tiêm vaccine, đeo khẩu trang, rửa tay và khử trùng, là để giảm giá trị P.

NP là mô hình toán học đơn giản nhất.

Sử dụng các mô hình toán học để nghiên cứu dịch bệnh truyền nhiễm lần đầu tiên được thực hiện bởi nhà toán học Daniel Bernoulli. Vào năm 1776, bác sĩ Bernoulli khi quan sát bệnh đậu mùa xâm nhập vào nước Pháp, ông nhận thấy vẫn có một tỉ lệ người tử vong mặc dù đã tiêm chủng, từ đó Bernoulli quyết định sử dụng các phương trình toán học để mô tả sự lây lan của đậu mùa.

Bernoulli đã chia dân số N thành các ngăn, bao gồm những người nhạy cảm (Susceptibles), những người mắc bệnh (Infected) và những người đã được miễn dịch (Immunes). Tỉ lệ tử vong do tất cả các nguyên nhân trừ nhiễm trùng là µ(a). Lực lây nhiễm λ(a) là tỉ lệ các đối tượng nhạy cảm bị nhiễm bệnh. Người khỏi bệnh có miễn dịch là s(a). Còn lại c(a) = 1 – s(a) là chết do nhiễm trùng. Ở đây, c(a) là tỉ lệ tử vong theo trường hợp ca bệnh, vì nó không phải tỉ lệ có thứ nguyên theo đơn vị thời gian. Gọi u(a) là xác suất đứa trẻ sinh ra còn sống và nhạy cảm với bệnh ở a tuổi.

Khi đó u(a) thỏa mãn phương trình vi phân:

du / da = – [λ(a) + µ(a)]u

với điều kiện ban đầu u(0) = 1.

Xác suất w(a) để được miễn nhiễm và sống sót là:

dw / da = [1 – c(a)] λ(a)u(a) – µ(a)w

với điều kiện w(a) = 0.

Nghiệm của các phương trình này là:

u(a) = exp {- [Λ(a) + M(a)]}

w(a) = eᴧ-M(a) ʃ {[1 – c(t)]λ(t)eᴧ-λ(t)}dt

với t ϵ [0;a]

Trong đó: Λ(a) = ʃ λ(t)dt

Và M(a) = ʃ µ(t)dt

Đặt l(a) là số sống sót sau tuổi a. Khi đó: l(a) = u(a) + w(a) bởi vì hai trạng thái mẫn cảm và miễn dịch bổ sung cho nhau.

Khả năng sống sót của dân số không có bệnh đậu mùa sẽ là: l₀(a) = -eᴧM(a).

Khả năng sống sót khi mắc bệnh đậu mùa có thể được viết dưới dạng tích số của l₀(a) và a yếu tố không phụ thuộc vào tỉ suất chết tự nhiên và chỉ được xác định bởi lực nhiễm trùng và trường hợp tử vong.

l(a) = l₀(a) {eᴧ-λ(a) + ʃ[1 – c(t)]λ(t)eᴧ-λ(t)dt}

Đắt x(a) = u(a)l(a) biểu thị tỉ lệ mắc bệnh ở tuổi a và z(a) = w(a)l(a) sự phân bố miễn dịch ở tuổi a, ta có:

z(a) = 1 – x(a)

Vì thời gian lây nhiễm chỉ vài tuần nên khoảng thời gian này không đáng kể so với thời gian của trạng thái mẫn cảm và trạng thái miễn dịch có thể là hàng năm.

Bằng cách đưa ra sự phổ biến của các đối tượng nhạy cảm ở độ tuổi a, Bernoulli rút ra một phương trình vi phân không liên quan đến tỷ lệ tử vong chung µ(a).

dx / da = -λ(a)x(a)[1 – c(a)x(a)]

với điều kiện ban đầu x(0) = 0.

Phương trình biệt này có nghiệm:

x(a) = eᴧ-λ(a) / {eᴧ-λ(a) + ʃ[1 – c(t)]λ(t)eᴧ-λ(t)}

Như vậy, Bernoulli đã xây dựng mô hình toán học cơ bản nhất, trở thành nền móng để dịch tễ học hiện đại phát triển thành những mô hình cải tiến, phù hợp với từng điều kiện cụ thể.

Mô hình toán học kinh điển nhất là SIR.

Tuy nhiên, những thiếu sót của mô hình SIR cũng rất rõ ràng, ví dụ, COVID-19 có thời gian ủ bệnh 14 ngày và người nhiễm bệnh có thể không có bất kỳ triệu chứng bất thường nào trong vòng 14 ngày. Do đó, việc phân loại ba nhóm người rõ ràng là không đủ. Xem xét yếu tố này, mô hình SIR cần được thêm thời gian ủ bệnh E, để thành mô hình SEIR. Nếu β, δ, γ, α được sử dụng để biểu thị tỉ số của S với E, E với I, I với R, E với R, từ đó xây dựng bốn phương trình vi phân đầu đủ hơn.

SEIR là viết tắt của các chữ cái đầu tiên.

S = susceptible (nhạy cảm): Được hiểu là những người chưa có kháng thể chống lại vi-rút, họ tiếp xúc với bệnh nhân COVID, nên có khả năng bị lây bệnh.

E = exposed (ủ bệnh): Là những người đã nhiễm vi-rút nhưng chưa phát bệnh. Thời gian ủ bệnh trung bình kí hiệu là TE.

I = infectious (lây nhiễm): Là những bệnh nhân đã phát bệnh và có nguy cơ lây bệnh cho người khác. Thời gian lây nhiễm trung bình kí hiệu là TI.

R = recovered (đã miễn nhiễm): Là những bệnh nhân đã khỏi bệnh hoặc chết.

Hiểu đơn giản là bất kì ai trong chúng ta đều có thể trải qua các giai đoạn COVID gồm: GĐ nhạy cảm, GĐ ủ bệnh, GĐ lây nhiễm, GĐ hết bệnh.

N = S + E + I + R

Hoặc:

N = S(t) + E(t) + I(t) + R(t)

Xác định hệ só lây nhiễm cơ bản R0.

λ = lnY(t) / t

Trong đó t là thời gian tích lũy số ca bệnh Y(t) từ điểm xuất phát đến thời điểm tính toán.

Tg = 1 / γ1

TI = 1 / γ2

Tg = TE + TI

ρ = TE / Tg

Công thức tính hệ số lây nhiễm cơ bản R0:

R0 = (1 + λ / γ1) (1 + λ / γ2)

Hoặc:

R0 = 1 + λTg + p(1 – p)( λTg)ᴧ2

Lưu ý rằng, tính toán hệ số lây nhiễm cơ bản R0 rất quan trọng, từ đó quyết định các biện pháp can thiệp phù hợp.

Bốn phương trình vi phân SEIR bao gồm:

dS/dt = -βIS

dE/dt = βSI – αE – δE

dI/dt = δE – γ

dR/dt = γI + αE

Đối với công chúng, các phương trình vi phân trên đương nhiên là khó chịu và nhàm chán. Ngay cả với các chuyên gia không hiểu sâu về toán học, khi nhìn vào các phương trình này, rất khó để nắm được nội dung và ngoại cảnh, mặc dù máy tính có thể giải và mô phỏng, dự đoán diễn biến của bệnh dịch. Nhưng ít nhiều, với người có kiến thức toán học cơ bản, thì nhìn vào bốn phương trình trên, ít nhất có thể rút ra ba kết luận sau:

Một là, dịch bệnh rồi cũng sẽ qua. Bởi vì điểm ổn định của hệ thống là 0, đường con sẽ tiệm cận dần tới số 0, dịch bệnh cuối cùng sẽ qua đi. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng giá trị của các tham số β, δ, γ, và α là khác nhau, và đường cong kết thúc của dịch thay đổi rất nhiều, điều này quyết định mức độ tác động chỉ nhẹ thôi, hay kết cục thảm hại. Nhiệm vụ phòng chống dịch là kiểm soát các thông số này.

Hai là, tỉ lệ lây nhiễm β càng cao, dịch càng diễn biến với tốc độ càng nhanh và kết cục càng bi thảm.

Ba là, giảm tỷ lệ lây nhiễm β, để giảm số thương vong về người. Cụ thể, phải thực hiện tốt công tác bảo vệ cá nhân và nâng cao khả năng miễn dịch, kiểm soát trực tiếp thông số β, có tác động mạnh mẽ đến các thông số δ, γ và α.

DỰ BÁO PHẢI DỰA TRÊN MÔ HÌNH SEIR

Dưới con mắt của các nhà toán dịch tễ: cả thế giới có thể được chạy trong mô hình!

Trong lĩnh vực toán dịch tễ, các nhà nghiên cứu khác nhau sẽ xây dựng các mô hình khác nhau, nhưng các nguyên tắc toán học đằng sau chúng là tương tự nhau, nó nhất quán kể từ khi Bernoulli đề xuất năm 1776 cho đến nay, các mô hình dù có cải tiến đến đâu cũng đều phải dựa trên nền tảng đó.

Dự báo có thể đúng, có thể sai, nhưng cơ sở khoa học để dự báo thì bắt buộc phải theo nguyên tắc, đến thời điểm hiện tại chưa có phương pháp nào khác.

Tôi đã đọc rất nhiều mô hình, từ Mỹ và châu Âu, cho đến Ấn Độ, Trung Quốc, Singapore hay nhiều quốc gia khác; và điều tôi nhận thấy không một nhà khoa học nào dám thoát li khỏi mô hình SIR kinh điển, mặc dù những hàm đa biến họ xây dựng hôm nay đã vượt rất xa so với thời đại của Bernoulli.

Khi dịch COVID-19 quay trở lại Tp.HCM với biến thể Delta, tôi có đọc một số dự báo của các chuyên gia, nhưng không hề thấy toát lên những thuật toán của mô hình SIR, cũng chẳng thấy những nội dung mang tính dịch tễ. Tôi cho rằng, dự báo dịch không thể sử dụng một vài hàm đại số tuyến tính để vẽ mấy biểu đồ và đồ thị, rồi nhìn vào đó đưa ra những dự báo một cách phiến diện và hời hợt.

Nguồn: BS. Trần Văn Phúc